Um dos professores e seus colaboradores comprovaram a conjectura de Polya sobre os autovalores do disco, um problema difícil em matemática.
A forma do tambor pode ser deduzida dos sons que ele emite?
Este é o tipo de pergunta que Iosif Poltrovic, professor do Departamento de Matemática e Estatística da Universidade de Montreal, gosta de fazer. Poltrovic usa geometria espectroscópica, um ramo da matemática, para compreender fenômenos físicos que envolvem a propagação de ondas.
Um avanço na estimativa matemática
No verão passado, Poltrović e os seus colaboradores internacionais – Nikolai Filonov, Michael Levitin e David Scherr – provaram um caso especial da famosa conjectura da geometria espectroscópica formulada em 1954 pelo eminente matemático húngaro-americano George Polya.
A estimativa diz respeito a estimar as frequências do cilindro redondo, ou, em termos matemáticos, os autovalores do disco.
O próprio Polya confirmou sua conjectura em 1961 sobre as esferas que compõem o plano, como triângulos e retângulos. Até o ano passado, o palpite era conhecido apenas para esses casos. O disco, apesar de sua aparente simplicidade, permaneceu indescritível.
“Imagine um piso infinito coberto com ladrilhos do mesmo formato que se encaixam para preencher o espaço”, disse Poltrovic. “Eles podem ser lado a lado com quadrados ou triângulos, mas não com discos. Na verdade, um disco não é um bom formato para mosaico.
A universalidade e o impacto da matemática
Em artigo publicado em julho de 2023 na revista esportiva Invenções matemáticasOs pesquisadores mostraram que a conjectura de Bolya está correta para um disco, um caso considerado particularmente difícil.
Embora seus resultados sejam principalmente de valor teórico, seu método de prova tem aplicações em matemática computacional e computação numérica. Os autores estão agora investigando essa abordagem.
“Embora a matemática seja uma ciência básica, é semelhante aos esportes e às artes em alguns aspectos”, disse Poltrovic.
“Tentar provar uma conjectura de longa data é um esporte. Encontrar uma solução elegante é uma arte. Em muitos casos, belas descobertas matemáticas são úteis, basta encontrar a aplicação certa.”
Referência: “A Conjectura Polya para Esferas Euclidianas” por Nikolai Filonov, Michael Levitin, Iosif Poltrovic e David A. Compartilhar, 5 de junho de 2023, Invenções matemáticas.
doi: 10.1007/s00222-023-01198-1